Retardo de fase de filtro médio em movimento

Introdução aos filtros lineares Esta seção fornece uma visão geral do uso das funções de filtragem (linear) no registro do Dataplore e do filtro linear em geral. A tarefa de filtragem geralmente surge em um contexto onde as alterações dependentes da freqüência de um sinal devem ser realizadas. Os filtros podem ser utilizados para a filtragem, ou seja, a extração de informações sobre uma quantidade de interesse no tempo t por observação de amostras precedentes até t (filtragem causal). Suavização, usado como método de redução de ruído, onde as amostras que precedem podem ser usadas para alterar a amostra atual. Previsão, ou seja, a estimativa de uma certa quantidade que ocorre no futuro a partir de várias amostras passadas. O filtro mais comum, mais simples e mais rápido é conseguido por filtros lineares. A filtragem linear de um sinal pode ser expressa como a convolução do sinal de entrada x (n) com a resposta de impulso h (n) do filtro dado, ou seja, a saída do filtro resultante da entrada de um impulso Dirac ideal. A transformada de Fourier de h (N) produz a resposta de magnitude do filtro. A forma geral de um filtro linear discreto é dada pela equação de diferença onde x é o sinal de entrada, y é o sinal de saída do filtro e são os coeficientes de filtro. Max (M, N) é a ordem do filtro que é pelo menos 1. Se N 0 o impulso resonse h (n) do filtro consiste em um número finito de amostras desiguais a zero e o filtro é uma chamada resposta de impulso finito (FIR) ou filtro não recursivo, com uma parte recursiva na estrutura do filtro (N gt 0), a resposta ao impulso é (teoricamente) infinita e o filtro é um filtro de resposta ao impulso infinito (IIR). No contexto dos processos estocásticos filtrados, os filtros FIR também são referidos como filtros de média móvel (MA) e os filtros IIR também são chamados de filtros de regressão automática (AR) ou auto-regressiva (ARMA), dependendo se são puramente Recursiva (M 0) ou tem uma parte não recursiva (M gt 0), respectivamente. Design de filtro O tipo de filtro a ser projetado e aplicado para um propósito específico muitas vezes depende das condições que a função de transferência deve atender. Estas condições podem e. Incluem uma fase linear (isto é, um atraso constante), uma certa atenuação de faixa de interrupção, uma forma de magnitude arbitrária ou uma ordem de filtro mínima. Filtros de domínio de freqüência Uma das abordagens mais simples e convenientes para alterar as propriedades espectrales de um sinal por filtragem é aplicar um filtro de domínio de freqüência, ou seja, para executar a operação de convolução como uma multiplicação da função de transferência H e a transformada de Fourier X Do sinal de entrada x no domínio de frequência de acordo com onde as letras maiúsculas indicam as transformações de Fourier dos respectivos sinais e. A filtragem no domínio da frequência proporciona um desempenho superior em comparação com as outras técnicas de design do filtro descritas abaixo, mas só podem ser aplicadas off-line, ou seja, com o sinal completo já acessível. Filtros de Resposta de Impulso Infinito (IIR) O design dos filtros digitais IIR pode ser feito de forma semelhante ao design de filtro analógico clássico (prototipagem analógica), incluindo métodos tradicionais, como os filtros Butterworth, Chebyshev ou elípticos (ou Cauer). Os filtros IIR geralmente têm respostas de fase altamente não-lineares, mas atendem especificações de resposta de magnitude com uma ordem de filtro muito menor do que os filtros FIR. Os filtros de baixa ordem são mais eficientes em termos de tempo de processamento e são fáceis de parametrizar. A figura abaixo mostra um modelo usado para a especificação de um modelo de filtro de passagem baixa no domínio de freqüência. O design dos filtros high pass, bandpass e banda rejeita IIR pode ser derivado desse modelo. Figura 3.1: o modelo de design do filtro IIR é a largura da transição. É referido como ondulação de banda passante e é a atenuação da distância do filtro IIR a ser projetada. Os tipos de filtro IIR atualmente disponíveis com base na prototipagem analógica no Dataplore reg são Butterworth. Este tipo de filtro possui uma resposta de magnitude monotônica que é máxima na banda passante. A freqüência de corte é em (ou -3dB) a resposta de magnitude inicial. A figura abaixo mostra a resposta de magnitude de um filtro Butterworth para diferentes ordens de filtragem N. Figura 3.2: Resposta de magnitude do filtro Butterworth Chebyshev. Este tipo de filtro é equiripple (ou seja, com ondulações de igual altura) na banda de passagem com uma resposta de magnitude de batente que é máxima plana. Ele minimiza a diferença entre a resposta de freqüência ideal e real. A frequência de corte é de acordo com o modelo de design do filtro mostrado anteriormente. A figura abaixo mostra a resposta de magnitude de um filtro Chebyshev. Figura 3.3: Resposta de magnitude do filtro Chebyshev Elliptic (Cauer): Este tipo de filtro é equiripple (veja acima) tanto na banda passada quanto na faixa de parada, mas atinge a menor largura de transição com a menor ordem de qualquer dos tipos de filtro descritos acima. A frequência de corte é de acordo com o modelo de design do filtro mostrado anteriormente. A figura abaixo mostra a resposta de magnitude de um filtro elíptico. Figura 3.4: Filtro elíptico Resposta de magnitude Filtros de Resposta de Impulso Finito (FIR) Os filtros digitais FIR podem ser projetados de forma a oferecer uma fase exatamente linear ou mesmo zero e, em contraste com os filtros IIR, eles são sempre estáveis. Os filtros que oferecem uma resposta de fase linear aplicam um atraso de fase constante de metade da ordem do filtro para todos os componentes de freqüência do sinal de entrada, evitando assim manchas de pulsos ou bordas de banda larga. Os filtros de fase zero não exibem distorção de fase, são implementados como filtros acaus com um tratamento de atraso especializado. Existem várias maneiras de projetar filtros FIR, um deles é o chamado método de janela. Uma vez que os coeficientes de um filtro FIR são idênticos à resposta de impulso discreta do filtro, eles podem ser obtidos facilmente por transformação reversa da função de transferência ideal para o domínio do tempo. Isso leva a respostas de impulso acausal de comprimento infinito. O encurtamento e a ponderação dessas respostas de impulso pela aplicação (multiplicação) de uma determinada função de janela correspondem a uma operação de convolução no domínio da freqüência. Existem funções de janela que - em comparação com janelas rectangulares simples (Boxcar) - reduzem a quantidade de ondulação nas bordas da banda, mas sacrificam a inclinação do rolloff (atenuação por faixa de freqüência), por outro lado. As funções de janela atualmente disponíveis para design de filtro FIR em Dataplore reg são Potter e Kaiser. Onde o último pode ser parametrizado otimamente de forma a minimizar erros de aproximação. É definido por onde M é o comprimento da janela, e é a função Bessel modificada do primeiro tipo de ordem zeroth. M e (um parâmetro de forma) podem ser escolhidos de forma otimizada. Essa escolha é feita automaticamente pelo Dataplore reg. Outra abordagem é o design do filtro FIR de acordo com Parks e McClellan. Um ajuste ótimo entre a resposta de freqüência desejada e real é conseguido pelo uso do algoritmo de troca Remez e da teoria da aproximação de Chebyshev (veja RabinerParksMcClellan 2 para detalhes). As respostas de freqüência dos filtros FIR de Parks-McClellan exibem um comportamento equiripple (veja acima) e podem ser usadas para o projeto de filtros com uma resposta de magnitude arbitrária. Leitura adicional: OppenheimSchafer 3. ParksBurrus 4. OtnesEnochson 5 O cientista e engenheiros Guia de processamento de sinal digital Por Steven W. Smith, Ph. D. Capítulo 19: Filtros recursivos Existem três tipos de resposta de fase que um filtro pode ter: fase zero. Fase linear. E fase não-linear. Um exemplo de cada um destes é mostrado na Figura 19-7. Conforme mostrado em (a), o filtro de fase zero é caracterizado por uma resposta de impulso que é simétrica em torno da amostra zero. A forma real não importa, apenas que as amostras numeradas negativas são uma imagem espelhada das amostras numeradas positivas. Quando a transformada de Fourier é tomada dessa forma de onda simétrica, a fase será inteiramente zero, conforme mostrado em (b). A desvantagem do filtro de fase zero é que requer o uso de índices negativos, o que pode ser inconveniente para trabalhar. O filtro de fase linear é uma maneira de contornar isso. A resposta de impulso em (d) é idêntica à mostrada em (a), exceto que foi transferida para usar apenas amostras numeradas positivas. A resposta ao impulso ainda é simétrica entre a esquerda e a direita no entanto, a localização da simetria foi deslocada de zero. Esta mudança resulta na fase, (e), sendo uma linha reta. Contabilizando o nome: fase linear. A inclinação desta linha reta é diretamente proporcional à quantidade da mudança. Uma vez que a mudança na resposta ao impulso não produz mais que uma mudança idêntica no sinal de saída, o filtro de fase linear é equivalente ao filtro de fase zero para a maioria dos propósitos. A figura (g) mostra uma resposta de impulso que não é simétrica entre a esquerda e a direita. Correspondentemente, a fase, (h), não é uma linha reta. Em outras palavras, ele tem uma fase não-linear. Não confunda os termos: fase não linear e linear com o conceito de linearidade do sistema discutido no Capítulo 5. Embora ambos usem a palavra linear. Eles não estão relacionados. Por que alguém se importa se a fase for linear ou não Figuras (c), (f), e (i) mostre a resposta. Estas são as respostas de pulso de cada um dos três filtros. A resposta ao pulso não é mais do que uma resposta passo a passo positiva, seguida de uma resposta passo a passo negativa. A resposta de pulso é usada aqui porque exibe o que acontece tanto nas bordas em ascensão como na queda em um sinal. Aqui está a parte importante: filtros de fase zero e linear têm bordas esquerda e direita que se parecem iguais. Enquanto os filtros de fase não-linear têm bordas esquerda e direita que se parecem diferentes. Muitas aplicações não podem tolerar as bordas esquerda e direita, aparecendo diferentes. Um exemplo é a exibição de um osciloscópio, onde essa diferença pode ser mal interpretada como uma característica do sinal que está sendo medido. Outro exemplo é o processamento de vídeo. Você pode imaginar ligar a sua TV para encontrar a orelha esquerda do seu ator favorito diferente da orelha direita. É fácil fazer um filtro FIR (filtro de resposta finito) com uma fase linear. Isso ocorre porque a resposta ao impulso (kernel de filtro) é especificada diretamente no processo de design. Fazer o kernel do filtro ter simetria esquerda-direita é tudo o que é necessário. Este não é o caso dos filtros IIR (recursivos), uma vez que os coeficientes de recursão são o que é especificado, e não a resposta ao impulso. A resposta de impulso de um filtro recursivo não é simétrica entre a esquerda e a direita e, portanto, tem uma fase não linear. Circuitos eletrônicos analógicos têm o mesmo problema com a resposta de fase. Imagine um circuito composto por resistores e capacitores sentados em sua mesa. Se a entrada sempre foi zero, a saída também será sempre zero. Quando um impulso é aplicado à entrada, os capacitores carregam rapidamente para algum valor e começam a diminuir exponencialmente através dos resistores. A resposta ao impulso (isto é, o sinal de saída) é uma combinação destes vários exponenciais exponentes de decomposição. A resposta ao impulso não pode ser simétrica, porque a saída foi zero antes do impulso, e a decomposição exponencial nunca atingiu novamente o valor zero. Os criadores de filtros analógicos atacam esse problema com o filtro Bessel. Apresentado no Capítulo 3. O filtro Bessel foi concebido para ter a fase linear possível, no entanto, está muito abaixo do desempenho dos filtros digitais. A capacidade de fornecer uma fase linear exata é uma clara vantagem dos filtros digitais. Felizmente, existe uma maneira simples de modificar filtros recursivos para obter uma fase zero. A Figura 19-8 mostra um exemplo de como isso funciona. O sinal de entrada a ser filtrado é mostrado em (a). A figura (b) mostra o sinal depois de ter sido filtrada por um filtro passa-baixa de um único pólo. Uma vez que este é um filtro de fase não-linear, as bordas esquerda e direita não parecem iguais, são versões invertidas umas das outras. Conforme descrito anteriormente, este filtro recursivo é implementado começando na amostra 0 e trabalhando em direção à amostra 150, calculando cada amostra ao longo do caminho. Agora, suponha que em vez de se mover da amostra 0 para a amostra 150, começamos na amostra 150 e avançamos em direção à amostra 0. Em outras palavras, cada amostra no sinal de saída é calculada a partir de amostras de entrada e saída à direita da amostra trabalhada em. Isso significa que a equação de recursão, Eq. 19-1, é alterado para: Figura (c) mostra o resultado dessa filtragem inversa. Isso é análogo ao passar um sinal analógico através de um circuito RC eletrônico enquanto o tempo de execução está para trás. Esrevinu eht pu-wercs nac lasrever emite - noituaC O filtro na direção inversa não produz qualquer benefício em si mesmo, o sinal filtrado ainda possui bordas esquerda e direita que não se parecem. A magia acontece quando a filtragem para frente e para trás é combinada. A Figura (d) resulta da filtragem do sinal na direção direta e, em seguida, filtra-se novamente na direção inversa. Voila Isso produz um filtro recursivo de fase zero. Na verdade, qualquer filtro recursivo pode ser convertido em fase zero com esta técnica de filtragem bidirecional. A única penalidade para este desempenho melhorado é um fator de dois em tempo de execução e complexidade do programa. Como você encontra as respostas de impulso e freqüência do filtro geral A magnitude da resposta de freqüência é a mesma para cada direção, enquanto as fases são opostas no signo. Quando as duas direções são combinadas, a magnitude torna-se quadrada. Enquanto a fase cancela para zero. No domínio do tempo, isso corresponde a convolver a resposta de impulso original com uma versão invertida para a esquerda para a direita. Por exemplo, a resposta de impulso de um filtro passa-baixa de um único pólo é um exponencial unilateral. A resposta ao impulso do filtro bidirecional correspondente é uma exponencial unilateral que desdobra para a direita, convolvida com uma exponencial unilateral que decaia para a esquerda. Passando pela matemática, isso resulta ser um exponencial de dupla face que decaia tanto para a esquerda quanto para a direita, com a mesma constante de decaimento que o filtro original. Algumas aplicações têm apenas uma parte do sinal no computador em um momento específico, como sistemas que alternadamente entrem e fornecem dados de forma contínua. A filtragem bidirecional pode ser usada nestes casos, combinando-o com o método de sobreposição adicionado descrito no último capítulo. Quando você vem à questão de quanto tempo a resposta de impulso é, não diga infinito. Se você fizer isso, você precisará preencher cada segmento de sinal com um número infinito de zeros. Lembre-se, a resposta ao impulso pode ser truncada quando se deteriorou abaixo do nível de ruído de arredondamento, isto é, cerca de 15 a 20 constantes de tempo. Cada segmento precisará ser preenchido com zeros à esquerda e à direita para permitir a expansão durante a filtragem bidirecional. Signal ProcessingDigital Filters Os filtros digitais são, por essência, sistemas amostrados. Os sinais de entrada e saída são representados por amostras com distância de tempo igual. Os filtros de resposta de Implulgação finita (FIR) são caracterizados por uma resposta de tempo dependendo apenas de um dado número das últimas amostras do sinal de entrada. Em outros termos: uma vez que o sinal de entrada caiu para zero, a saída do filtro fará o mesmo após um determinado número de períodos de amostragem. A saída y (k) é dada por uma combinação linear das últimas amostras de entrada x (k i). Os coeficientes b (i) dão o peso para a combinação. Eles também correspondem aos coeficientes do numerador da função de transferência de filtro do domínio z. A figura a seguir mostra um filtro FIR da ordem N 1: Para os filtros de fase linear, os valores dos coeficientes são simétricos em torno do meio e a linha de atraso pode ser dobrada em volta desse ponto do meio para reduzir o número de multiplicações. A função de transferência de filtros FIR apenas permite um numerador. Isso corresponde a um filtro totalmente zero. Os filtros FIR normalmente requerem pedidos elevados, na magnitude de várias centenas. Assim, a escolha deste tipo de filtros precisará de uma grande quantidade de hardware ou CPU. Apesar disso, uma das razões para escolher uma implementação do filtro FIR é a capacidade de alcançar uma resposta de fase linear, o que pode ser um requisito em alguns casos. No entanto, o designer fiter tem a possibilidade de escolher filtros IIR com uma boa linearidade de fase na banda passante, como os filtros Bessel. Ou para projetar um filtro allpass para corrigir a resposta de fase de um filtro IIR padrão. Filtros médios móveis (MA) Os modelos Editar modelo médio móvel (MA) são modelos de processo na forma: os processos MA são uma representação alternativa dos filtros FIR. Filtros médios Editar Um filtro calculando a média das N últimas amostras de um sinal É a forma mais simples de um filtro FIR, sendo todos os coeficientes iguais. A função de transferência de um filtro médio é dada por: A função de transferência de um filtro médio possui N zeros igualmente espaçados ao longo do eixo de freqüência. No entanto, o zero em DC é mascarado pelo pólo do filtro. Por isso, existe um lóbulo maior, um DC que explica a banda de passagem do filtro. Filtros Integrator-Comb (CIC) em cascata Edit A O filtro integrador-pente em cascata (CIC) é uma técnica especial para a implementação de filtros médios colocados em série. A colocação em série dos filtros médios melhora o primeiro lobo em DC em comparação com todos os outros lóbulos. Um filtro CIC implementa a função de transferência de N filtros médios, cada um calculando a média de amostras R M. Sua função de transferência é assim dada por: os filtros CIC são usados ​​para dizimar o número de amostras de um sinal por um fator de R ou, em outros termos, reescrever um sinal a uma freqüência mais baixa, descartando amostras R 1 de R. O fator M indica quanto do primeiro lobo é usado pelo sinal. O número de estádios de filtro médio, N. Indica quão bem outras bandas de freqüência são amortecidas, à custa de uma função de transferência menos plana em torno de DC. A estrutura CIC permite implementar todo o sistema com apenas agregadores e registros, não usando multiplicadores que sejam gananciosos em termos de hardware. O downsampling por um fator de R permite aumentar a resolução do sinal pelos bits log 2 (R) (R). Filtros canônicos Edit Canonical filters implementam uma função de transferência de filtro com vários elementos de atraso iguais à ordem do filtro, um multiplicador por coeficiente de numerador, um multiplicador por coeficiente de denominador e uma série de elementos de som. De forma semelhante às estruturas canónicas de filtros ativos, esse tipo de circuitos mostrou-se muito sensível aos valores dos elementos: uma pequena alteração em coeficientes teve um grande efeito na função de transferência. Aqui também, o design de filtros ativos mudou de filtros canônicos para outras estruturas, como cadeias de seções de segunda ordem ou filtros de salto. Cadeia de secções de segunda ordem Editar uma seção de segunda ordem. Muitas vezes referido como biquad. Implementa uma função de transferência de segunda ordem. A função de transferência de um filtro pode ser dividida em um produto de funções de transferência associadas a um par de pólos e possivelmente um par de zeros. Se a ordem das funções de transferência for estranha, então uma seção de primeira ordem deve ser adicionada à cadeia. Esta seção está associada ao pólo real e ao zero real se houver um. Forma direta 1 forma direta 2 forma direta 1 transposição de forma direta 2 transposta A forma direta 2 transposta da figura a seguir é especialmente interessante em termos de hardware exigido, bem como a quantificação de sinal e coeficiente. Digital Leapfrog Filters Editar estrutura de filtro Editar filtros de salto digital base na simulação de filtros de salto analógico ativo. O incentivo para esta escolha é herdar das excelentes propriedades de sensibilidade à banda passante do circuito de escada original. O seguinte filtro de 4passões de allpass do allpass do pólo pode ser implementado como um circuito digital, substituindo os integradores analógicos por acumuladores. A substituição dos integradores analógicos por acumuladores corresponde a simplificar a transformada Z em z 1 s T. Quais são os dois primeiros termos da série Taylor de z e x p (s T). Essa aproximação é boa o suficiente para filtros onde a freqüência de amostragem é muito maior do que a largura de banda do sinal. Transferir Função A representação do espaço de estado do filtro precedente pode ser escrita como: A partir deste conjunto de equações, pode-se escrever as matrizes A, B, C, D como: A partir desta representação, as ferramentas de processamento de sinais, como Octave ou Matlab, permitem traçar A resposta de freqüência dos filtros ou para examinar seus zeros e pólos. No filtro de salto digital, os valores relativos dos coeficientes definem a forma da função de transferência (Butterworth. Chebyshev.), Enquanto suas amplitudes definem a freqüência de corte. Dividir todos os coeficientes por um fator de dois desloca a frequência de corte para baixo em uma oitava (também um fator de dois). Um caso especial é o filtro Buterworth de 3ª ordem, que possui constantes de tempo com valores relativos de 1, 12 e 1. Devido a isso, este filtro pode ser implementado em hardware sem qualquer multiplicador, mas usando mudanças em vez disso. Os modelos Autoregressive Filters (AR) Edit Autoregressive Filters (AR) Edit Autoregressive (AR) são modelos de processo na forma: Onde u (n) é a saída do modelo, x (n) é a entrada do modelo e u (n - m) são anteriores Amostras do valor de saída do modelo. Esses filtros são chamados de autorregressivos porque os valores de saída são calculados com base em regressões dos valores de saída anteriores. Os processos AR podem ser representados por um filtro de todos os pólos. Filtros ARMA Edit Autoregressive Moving-Average (ARMA) filtros são combinações de AR e MA filtros. A saída do filtro é dada como uma combinação linear tanto da entrada ponderada como das amostras de saída ponderadas: os processos ARMA podem ser considerados como um filtro IIR digital, com pólos e zeros. Os filtros AR são preferidos em muitos casos porque podem ser analisados ​​usando as equações de Yule-Walker. Os processos MA e ARMA, por outro lado, podem ser analisados ​​por equações não-lineares complicadas, difíceis de estudar e modelar. Se tivermos um processo AR com coeficientes de peso de toque a (um vetor de a (n), a (n - 1).) Uma entrada de x (n). E uma saída de y (n). Podemos usar as equações de Yule-Walker. Dizemos que x 2 é a variância do sinal de entrada. Tratamos o sinal de dados de entrada como um sinal aleatório, mesmo que seja um sinal determinista, porque não sabemos qual será o valor até que o receba. Podemos expressar as equações de Yule-Walker como: Onde R é a matriz de correlação cruzada da saída do processo E r é a matriz de autocorrelação da saída do processo: Variance Edit Podemos mostrar que: Podemos expressar a variância do sinal de entrada como: Ou , Expandindo e substituindo in para r (0). Podemos relacionar a variância de saída do processo com a variância de entrada: